선형대수 - (6) 영공간 (Null Space)

 

 

 

영공간(Null Space)

A의 영공간은 $N(A)$라고 표현한다.

• 모든 원소가 $Ax = 0$를 만족하는 벡터의 집합

$N(A) = \{x|Ax = 0\}$

벡터 공간으로서의 증명

1. 덧셈에 대해 닫혀있다.
   $Ax_1 = 0$과 $Ax_2 = 0$에 대해, $x_1 + x_2 \in N(A)$를 만족한다.
   $A(x_1 + x_2) = Ax_1 + Ax_2 = \mathbb{0} + \mathbb{0} = \mathbb{0}$
2. 스칼라 곱에 대해 닫혀있다.
   $Ax = 0$와 $c$에 대해, $cx \in N(A)$를 만족한다 $A(cx) = cAx = \mathbb{0}$
3. 원점이 포함된다.
   x가 0이면 Ax는 항상 0이 된다.

예제)

다음 연립 방정식을 풀어본다.
$\begin{cases} u + w = 0 \\ 5u + 4v + 9w = 0 \\ 2u 4v + 6w = 0 \end{cases}$

연립방정식을 다음 두가지를 수행하면, [2] - 5 [1] => $4v + 4w = 0$
[3] - 2 [1] => $4v + 4w = 0$
같은 수식이 나온다.

또한 $v + w = 0$ 뿐만 아니라, $u + w = 0$ 두가지 수식 모두 0이 된다.
이러한 경우가 바로 한개의 해가 존재하지 않는 상황이 된다.

위와 같은 수식의 해를 구하려면 다음과 같이 하면 된다. $w = c$로 설정하고, $u = v = -c$라고 했을 때, 아래와 같이 해를 구한다.
$\begin{bmatrix} u \\ v \\ w\end{bmatrix} = c\begin{bmatrix} -1 \\ -1 \\ 1\end{bmatrix}$

이는 Ax = 0의 수식에서의 x 즉 영공간을 구한것이 된다.

 

사다리꼴 행렬 (Echelon Form)

가우스 소거법을 사용해 연립 방정식을 푸는데, 이번에으 수식이 해보다 적은 연립 방정식을 푼다.

예제)

다음은 열공간과 행공간의 차원이 다른 방정식이다.
다음과 같은 계수들을 가진 연립 방정식을 풀어본다.

$\begin{bmatrix} \;\;1 \quad\quad 3 \quad 3 \quad 2 \\ \;\;2 \quad\quad 6 \quad 9 \quad 7 \\ -1 \quad -3 \quad 3 \quad 4\end{bmatrix} \begin{bmatrix} u \\ v \\ w \\ z\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix}$

이를 가우스 소거법을 사용해 풀어준다.

[2] - [1] 2 & [3] - [1] -1
$\begin{bmatrix} 1 \quad 3 \quad 3 \quad 2 \\ 0 \quad 0 \quad 3 \quad 3 \\ 0 \quad 0 \quad 6 \quad 6\end{bmatrix} $

위는 대각 행렬이 아니기 때문에 두번째 Pivot은 두번째 줄의 세번쨰 컬럼으로 잡아준다.

[3] - [2] * 2
$\begin{bmatrix} 1 \quad 3 \quad 3 \quad 2 \\ 0 \quad 0 \quad 3 \quad 3 \\ 0 \quad 0 \quad 0 \quad 0\end{bmatrix} $

마지막 행의 계수들이 모두 0이 되었기 때문에 두개의 행만 사용이 가능하다.
이후에는 모든 Pivot의 위치를 1이 되게 만든다.
$\begin{bmatrix} 1 \quad 3 \quad 3 \quad 2 \\ 0 \quad 0 \quad 1 \quad 1 \\ 0 \quad 0 \quad 0 \quad 0\end{bmatrix} $

마지막으로 역행렬을 구할 때 처럼 Pivot에 해당하는 다른 위치들이 0이 되게 만든다.

[1] - [2] * 3
$\begin{bmatrix} 1 \quad 3 \quad 0 \quad -1 \\ 0 \quad 0 \quad 1 \quad 1 \\ 0 \quad 0 \quad 0 \quad 0\end{bmatrix} $

위의 모든 작업에서 수식의 오른쪽은 모두 0이기 때문에 수치적 작업의 의미가 없다.
위가 최종적인 결과이고 이를 Row Reduced Echelon Form이라고 부르고 이를 R이라고 표기한다.
이 R은 해집합을 구하는데 사용된다.

 

해집합

위의 경우와 같은 영공간에서의 해집합은 또 다른 부분 공간을 이루게 된다.
하나의 해가 존재하지 않는 연립 방정식은 벡터로 표현이 된다.

예제)

위의 예제에서의 해집합을 구해본다.
위의 마지막 R은 다음과 같은 수식이 된다.

$\begin{cases} u + 3v - z = 0 \\ w + z = 0 \end{cases}$

위의 경우에서 Pivot에 해당하는 변수들을 Pivot Variable이라고 하고,
Pivot에 해당하지 않는 변수들을 Free Variable이라고 한다.
위의 수식의 해집합은 Pivot Vaiable들을 Free Variable들로 표현해준 것이다.

$u = -3v + z$
$w = -z$

마지막으로 위의 변수들을 통해 해집합을 컬럼벡터로 표기해 준다.

$\begin{bmatrix} u \\ v \\ w \\ z\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3v + z \\ v \\ -z \\ z\end{bmatrix}$

이를 또다른 표기법으로 표현하면, Free Variable들을 통한 선형결합으로 다음과 같이 표현된다.

$v\begin{bmatrix} -3 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix} + z\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 1\end{bmatrix}$

결과적으로 위 두 벡터의 선형결합이 곧 영공간이 된다.

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