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영공간(Null Space) A의 영공간은 $N(A)$라고 표현한다. 모든 원소가 $Ax = 0$를 만족하는 벡터의 집합 $N(A) = \{x|Ax = 0\}$ 벡터 공간으로서의 증명 덧셈에 대해 닫혀있다. $Ax_1 = 0$과 $Ax_2 = 0$에 대해, $x_1 + x_2 \in N(A)$를 만족한다. $A(x_1 + x_2) = Ax_1 + Ax_2 = \mathbb{0} + \mathbb{0} = \mathbb{0}$ 스칼라 곱에 대해 닫혀있다. $Ax = 0$와 $c$에 대해, $cx \in N(A)$를 만족한다 $A(cx) = cAx = \mathbb{0}$ 원점이 포함된다. x가 0이면 Ax는 항상 0이 된다. 예제) 다음 연립 방정식을 풀어본다. $\begin{cases} u + w = 0..

연립방정식에서 하나의 해가 아닐 때미지수의 갯수가 방정식의 갯수보다 많을 때 푸는 방법을 다룬다. 즉 무수히 많은 수의 해를 가질 때의 경우와 해가 없는 경우를 다루게 된다. 이 때 무수히 많은 해를 가질 때의 해를, 벡터공간이라고 하는 것으로 표현하는 방법을 알아본다. 예를 들어 다음과 같은 연립방정식이 있을 때, $\begin{cases} 2u + v + w = 5 \\ 4u - 6v = -2 \end{cases}$ 무수히 많은 해에 대한 표기를 어떻게 할것인가를 알아본다. 이 무수히 많은 해의 집합을 공간이라고 표현한다. 벡터 공간 (Vector Space)공간이란 원소들을 갖는 일종의 집합이다. 이 공간은 원소들의 덧셈과 스칼라 곱셈으로부터 닫혀있는 집합이다. 어떤 임의의 벡터들 $x, y \in..

역행렬 (Inverse Matrix)역행렬이란, n x n행렬 A에 대해 어느쪽에서 곱하든 Identity Matrix가 되는 행렬을 말한다. $A_{n\,x\,n}A^{-1} = A^{-1}A = I$ 위와 같이 교환법칙이 성립하는 것이 중요한 조건이다. n x n행렬이라고 해서 모든 행렬이 역행렬을 가지는 것은 아니다. $Det(A) \neq 0$ 일 때에만 역 행렬이 존재한다. (Det에 대해서는 추후에 다룰 예정) 역행렬의 특징A에 대해: 역행렬 $A^{-1}$는 가우스 소거법 뒤에 n pivot이 있을 때에 존재한다. n pivot들이란, 대각선의 값들이 0이 아니라는 의미 역행렬 $A^{-1}$는 두개 이상 존재할 수 없다 = Unique하다. 역행렬 $A^{-1}$가 존재한다면, $x = A..

가우스 소거법과 선형 결합가우스 소거법에서 일정 계수를 곱해주고 특정 행을 빼는 행위는, 선형변환으로 표현할 수 있고, 이 선형변환은 행렬로 표현될 수 있다. 다음과 같은 연립방정식이 표현된 행렬이 있다. $\begin{bmatrix} 2 \quad 1 \quad 1 \\ 4 \quad -6 \quad 0 \\ -2 \quad 7 \quad 2 \end{bmatrix}$ 가우스 소거법의 첫번째 단계를 진행하면, 첫번째 행에 계수를 곱해 두번째 행에서 빼주는 것이다: (2) - 2 * (1) 이를 진행하면 다음과 같은 행렬이 나온다: $\begin{bmatrix} 2 \quad 1 \quad 1 \\ 0 \quad -8 \quad 2 \\ -2 \quad 7 \quad 2 \end{bmatrix}$ 이는 ..

연립 방정식과 행렬 다음과 같은 연립 방정식이 있다고 하자: (선형방정식은 1차식의 변수들만 존재하는 것이다.) $\begin{cases} x + 2y = 3 \\ x + 5y = 6 \end{cases}$ 위는 1번식에 4를 곱하고 2번식을 빼면, 3y = 6이 되고, y = 2라는 답이 나온다. 그리고 이를 대입해 x로 풀어내면, x = -1이라는 답을 얻을 수 있다. 위의 직선을 평면에 표현하면, x와 y는 두개의 직선의 교점임을 알 수 있다. 이를 컬럼벡터와 행렬을 통해 표현해 풀 수 있다. 위의 문제를 행렬과 벡터로 표현하면 다음과 같이 표현할 수 있다. $\begin{bmatrix} 1 \quad 2 \\ 4 \quad 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \e..

선형성 (Linearity) f(x)는 x라는 변수에 대한 함수이다. f는 또한 연산(operation)이다. f가 선형성을 가지려면 두가지 조건을 만족해야 한다. 1. Superposition (중첩) $f(x_1 + x_2) = f(x_1) + f(x_2)$ 만약 $x_1$과 $x_2$를 함수에 적용하기 전에 더한 것과, 함수에 각각 적용한 뒤 더한 것의 결과가 같으면, 중첩의 조건을 만족하는 것이다. 2. Homogeneity (동질성) $f(a x) = a f(x)$ 만약 x에 상수 a를 곱한 값에 함수를 적용한 것이, 함수에 적용한 뒤 상수 a를 곱해준 결과와 같으면, 동질성의 조건을 만족하는 것이다. 위를 하나의 수식으로 표현하면 다음과 같이 표현할 수 있다. $f(a_1 x_1 + a_2 x..