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영공간(Null Space) A의 영공간은 $N(A)$라고 표현한다. 모든 원소가 $Ax = 0$를 만족하는 벡터의 집합 $N(A) = \{x|Ax = 0\}$ 벡터 공간으로서의 증명 덧셈에 대해 닫혀있다. $Ax_1 = 0$과 $Ax_2 = 0$에 대해, $x_1 + x_2 \in N(A)$를 만족한다. $A(x_1 + x_2) = Ax_1 + Ax_2 = \mathbb{0} + \mathbb{0} = \mathbb{0}$ 스칼라 곱에 대해 닫혀있다. $Ax = 0$와 $c$에 대해, $cx \in N(A)$를 만족한다 $A(cx) = cAx = \mathbb{0}$ 원점이 포함된다. x가 0이면 Ax는 항상 0이 된다. 예제) 다음 연립 방정식을 풀어본다. $\begin{cases} u + w = 0..

역행렬 (Inverse Matrix)역행렬이란, n x n행렬 A에 대해 어느쪽에서 곱하든 Identity Matrix가 되는 행렬을 말한다. $A_{n\,x\,n}A^{-1} = A^{-1}A = I$ 위와 같이 교환법칙이 성립하는 것이 중요한 조건이다. n x n행렬이라고 해서 모든 행렬이 역행렬을 가지는 것은 아니다. $Det(A) \neq 0$ 일 때에만 역 행렬이 존재한다. (Det에 대해서는 추후에 다룰 예정) 역행렬의 특징A에 대해: 역행렬 $A^{-1}$는 가우스 소거법 뒤에 n pivot이 있을 때에 존재한다. n pivot들이란, 대각선의 값들이 0이 아니라는 의미 역행렬 $A^{-1}$는 두개 이상 존재할 수 없다 = Unique하다. 역행렬 $A^{-1}$가 존재한다면, $x = A..

가우스 소거법과 선형 결합가우스 소거법에서 일정 계수를 곱해주고 특정 행을 빼는 행위는, 선형변환으로 표현할 수 있고, 이 선형변환은 행렬로 표현될 수 있다. 다음과 같은 연립방정식이 표현된 행렬이 있다. $\begin{bmatrix} 2 \quad 1 \quad 1 \\ 4 \quad -6 \quad 0 \\ -2 \quad 7 \quad 2 \end{bmatrix}$ 가우스 소거법의 첫번째 단계를 진행하면, 첫번째 행에 계수를 곱해 두번째 행에서 빼주는 것이다: (2) - 2 * (1) 이를 진행하면 다음과 같은 행렬이 나온다: $\begin{bmatrix} 2 \quad 1 \quad 1 \\ 0 \quad -8 \quad 2 \\ -2 \quad 7 \quad 2 \end{bmatrix}$ 이는 ..

연립 방정식과 행렬 다음과 같은 연립 방정식이 있다고 하자: (선형방정식은 1차식의 변수들만 존재하는 것이다.) $\begin{cases} x + 2y = 3 \\ x + 5y = 6 \end{cases}$ 위는 1번식에 4를 곱하고 2번식을 빼면, 3y = 6이 되고, y = 2라는 답이 나온다. 그리고 이를 대입해 x로 풀어내면, x = -1이라는 답을 얻을 수 있다. 위의 직선을 평면에 표현하면, x와 y는 두개의 직선의 교점임을 알 수 있다. 이를 컬럼벡터와 행렬을 통해 표현해 풀 수 있다. 위의 문제를 행렬과 벡터로 표현하면 다음과 같이 표현할 수 있다. $\begin{bmatrix} 1 \quad 2 \\ 4 \quad 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \e..